home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Software Vault: The Gold Collection / Software Vault - The Gold Collection (American Databankers) (1993).ISO / cdr55 / cld9math.zip / Z0000024.TXT
Text File  |  1993-06-07  |  56KB  |  1,309 lines
  1. Archive-Name: sci-math-faq
  2. Version: $Id: sci-math-faq,v 4.0 92/12/26 18:45:00 $
  3.  
  4. This is a list of Frequently Asked Questions for sci.math (version 4.0).
  5. Any contributions/suggestions/corrections are most welcome. Please use
  6. * e-mail * on any comment concerning the FAQ list.
  7.  
  8. Changes and additions are marked with a # on the table of contents.
  9. This FAQ list (and most others, for that matter) is available via anonymous
  10. ftp at rtfm.mit.edu (18.70.0.226).
  11.  
  12. The list of contributors to this FAQ list is too large to include here;
  13. but thanks are due to all of them (you know who you are folks!).
  14.  
  15.              Table of Contents
  16.              -----------------
  17.  
  18.  1Q.- Fermat's Last Theorem, status of .. #
  19.  2Q.- Four Colour Theorem, proof of ..
  20.  3Q.- Values of Record Numbers      
  21.  4Q.- General Netiquette
  22.  5Q.- Computer Algebra Systems, application of ..
  23.  6Q.- Computer Algebra Systems, references to ..
  24.  7Q.- Fields Medal, general info ..
  25.  8Q.- 0^0=1. A comprehensive approach 
  26.  9Q.- 0.999... = 1. Properties of the real numbers ..
  27. 10Q.- Digits of Pi, computation and references 
  28. 11Q.- There are three doors, The Monty Hall problem, Master Mind and
  29.       other games .. #
  30. 12Q.- Surface and Volume of the n-ball  
  31. 13Q.- f(x)^f(x)=x, name of the function ..
  32. 14Q.- Projective plane of order 10 ..   
  33. 15Q.- How to compute day of week of a given date 
  34. 16Q.- Axiom of Choice and/or Continuum Hypothesis? 
  35. 17Q.- Cutting a sphere into pieces of larger volume  
  36. 18Q.- Pointers to Quaternions
  37. 19Q.- Erdos Number # 
  38. 20Q.- Odd Perfect Number #
  39. 21Q.- Why is there no Nobel in mathematics? #
  40. 22Q.- General References and textbooks... #
  41.  
  42.  
  43. 1Q:  What is the current status of Fermat's last theorem?
  44.     (There are no positive integers x,y,z, and n > 2 such that 
  45.     x^n + y^n = z^n)  
  46.     I heard that <insert name here> claimed to have proved it but later
  47.     on the proof was found to be wrong. ...
  48.     (wlog we assume x,y,z to be relatively prime)
  49.  
  50. A:  The status of FLT has remained remarkably constant.  Every few
  51.     years, someone claims to have a proof ... but oh, wait, not quite.
  52.     Meanwhile, it is proved true for ever greater values of the exponent
  53.     (but not all of them), and ties are shown between it and other
  54.     conjectures (if only we could prove one of them), and ... so it has
  55.     been for quite some time.  It has been proved that for each 
  56.     exponent, there are at most a finite number of counter-examples to
  57.     FLT.
  58.  
  59.     Here is a brief survey of the status of FLT. It is not intended to
  60.     be 'deep', but it is rather for non-specialists.
  61.  
  62.     The theorem is broken into 2 cases. The first case assumes 
  63.     (abc,n) = 1. The second case is the general case.
  64.  
  65.     What has been PROVED
  66.     --------------------
  67.  
  68.     First Case.
  69.  
  70.     It has been proven true up to 7.568x10^17 by the work of Wagstaff &
  71.     Tanner, Granville&Monagan, and Coppersmith. They all used extensions
  72.     of the Wiefrich criteria and improved upon work performed by 
  73.     Gunderson and Shanks&Williams.
  74.  
  75.     The first case has been proven to be true for an infinite number of 
  76.     exponents by Adelman, Frey, et. al. using a generalization of the
  77.     Sophie Germain criterion
  78.  
  79.   
  80.     Second Case:
  81.  
  82.     It has been proven true up to n = 150,000 by Tanner & Wagstaff. The
  83.     work used new techniques for computing Bernoulli numbers mod p and 
  84.     improved upon work of Vandiver. The work involved computing the
  85.     irregular primes up to 150,000. FLT is true for all regular primes 
  86.     by a theorem of Kummer. In the case of irregular primes, some
  87.     additional computations are needed.
  88.  
  89.     UPDATE : 
  90.  
  91.     Fermat's Last Theorem has been proved true up to exponent 4,000,000
  92.     in the general case. The method used was essentially that of Wagstaff:
  93.     enumerating and eliminating irregular primes by Bernoulli number
  94.     computations. The computations were performed on a set of NeXT
  95.     computers by Richard Crandall et al.
  96.  
  97.     Since the genus of the curve a^n + b^n = 1, is greater than or equal
  98.     to 2 for n > 3, it follows from Mordell's theorem [proved by
  99.     Faltings], that for any given n, there are at most a finite number
  100.     of solutions.
  101.  
  102.  
  103.     Conjectures
  104.     -----------
  105.  
  106.     There are many open conjectures that imply FLT. These conjectures
  107.     come from different directions, but can be basically broken into
  108.     several classes: (and there are interrelationships between the 
  109.     classes)
  110.     
  111.     (a) conjectures arising from Diophantine approximation theory such 
  112.     as the ABC conjecture, the Szpiro conjecture, the Hall conjecture,
  113.     etc.
  114.  
  115.     For an excellent survey article on these subjects see the article
  116.     by Serge Lang in the Bulletin of the AMS, July 1990 entitled
  117.     "Old and new conjectured diophantine inequalities".
  118.  
  119.     Masser and Osterle formulated the following known as the ABC 
  120.     conjecture:
  121.  
  122.     Given epsilon > 0, there exists a number C(epsilon) such that for
  123.     any set of non-zero, relatively prime integers a,b,c such that 
  124.     a+b = c we have
  125.  
  126.     max( |a|, |b|, |c|) <= C(epsilon) N(abc)^(1 + epsilon)
  127.  
  128.     where N(x) is the product of the distinct primes dividing x.
  129.  
  130.     It is easy to see that it implies FLT asymptotically. The conjecture
  131.     was motivated by a theorem, due to Mason that essentially says the
  132.     ABC conjecture IS true for polynomials.
  133.  
  134.     The ABC conjecture also implies Szpiro's conjecture [and vice-versa]
  135.     and Hall's conjecture. These results are all generally believed to
  136.     be true. 
  137.  
  138.     There is a generalization of the ABC conjecture [by Vojta] which is
  139.     too technical to discuss but involves heights of points on
  140.     non-singular algebraic varieties . Vojta's conjecture also implies
  141.     Mordell's theorem [already known to be true]. There are also a
  142.     number of inter-twined conjectures involving heights on elliptic
  143.     curves that are related to much of this stuff. For a more complete 
  144.     discussion, see Lang's article.
  145.     
  146.     (b) conjectures arising from the study of elliptic curves and
  147.     modular forms. -- The Taniyama-Weil-Shmimura conjecture.
  148.  
  149.     There is a very important and well known conjecture known as the
  150.     Taniyama-Weil-Shimura conjecture that concerns elliptic curves.
  151.     This conjecture has been shown by the work of Frey, Serre, Ribet,
  152.     et. al. to imply FLT uniformly, not just asymptotically as with the
  153.     ABC conj.
  154.     
  155.     The conjecture basically states that all elliptic curves can be
  156.     parameterized in terms of modular forms. 
  157.  
  158.     There is new work on the arithmetic of elliptic curves. Sha, the
  159.     Tate-Shafarevich group on elliptic curves of rank 0 or 1. By the way
  160.     an interesting aspect of this work is that there is a close 
  161.     connection between Sha, and some of the classical work on FLT. For
  162.     example, there is a classical proof that uses infinite descent to
  163.     prove FLT for n = 4. It can be shown that there is an elliptic curve
  164.     associated with FLT and that for n=4, Sha is trivial. It can also be
  165.     shown that in the cases where Sha is non-trivial, that 
  166.     infinite-descent arguments do not work; that in some sense 'Sha
  167.     blocks the descent'. Somewhat more technically, Sha is an
  168.     obstruction to the local-global principle [e.g. the Hasse-Minkowski
  169.     theorem].
  170.     
  171.     
  172.  
  173.     (c) Conjectures arising from some conjectured inequalities involving
  174.     Chern classes and some other deep results/conjectures in arithmetic
  175.     algebraic geometry. 
  176.  
  177.     I can't describe these results since I don't know the math. Contact
  178.     Barry Mazur [or Serre, or Faltings, or Ribet, or ...]. Actually the
  179.     set of people who DO understand this stuff is fairly small.
  180.  
  181.  
  182.     The diophantine and elliptic curve conjectures all involve deep 
  183.     properties of integers. Until these conjecture were tied to FLT,
  184.     FLT had been regarded by most mathematicians as an isolated problem;
  185.     a curiosity. Now it can be seen that it follows from some deep and
  186.     fundamental properties of the integers. [not yet proven but
  187.     generally believed].
  188.  
  189.     This synopsis is quite brief. A full survey would run to many pages.
  190.  
  191.     References:
  192.  
  193.     [1] J.P.Butler, R.E.Crandall, & R.W.Sompolski
  194.     "Irregular Primes to One Million"
  195.      Math. Comp. 59 (October 1992) pp. 717-722
  196.  
  197.     H.M. Edwards, Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to
  198.     Algebraic Number Theory, Springer Verlag, New York, 1977
  199.  
  200.     P. Ribenboim, Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem, 
  201.     Springer Verlag, New York, 1979
  202.  
  203.     Number Theory Related to Fermat's Last Theorem, Neal Koblitz, editor,
  204.     Birkh\"auser Boston, Inc., 1982, ISBN 3-7643-3104-6
  205.  
  206.  
  207.  
  208.  
  209. 2Q: Has the Four Colour Theorem been solved?
  210.     (Every planar map with regions of simple borders can be coloured 
  211.     with 4 colours in such a way that no two regions sharing a non-zero
  212.     length border have the same colour.)
  213.  
  214. A:  This theorem was proved with the aid of a computer in 1976.
  215.     The proof shows that if aprox. 1,936  basic forms of maps
  216.     can be coloured with four colours, then any given map can be
  217.     coloured with four colours. A computer program coloured this 
  218.     basic forms. So far nobody has been able to prove it without 
  219.     using a computer. In principle it is possible to emulate the 
  220.     computer proof by hand computations.
  221.  
  222.     References:
  223.  
  224.     K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colourable,
  225.     Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 82, 1976 
  226.     pp.711-712.
  227.  
  228.     K. Appel and W. Haken, Every planar map is four colourable,
  229.     Illinois Journal of Mathematics, vol. 21, 1977, pp. 429-567.
  230.  
  231.     T. Saaty and Paul Kainen, The Four Colour Theorem: Assault and
  232.     Conquest, McGraw-Hill, 1977. Reprinted by Dover Publications 1986. 
  233.  
  234.     K. Appel and W. Haken, Every Planar Map is Four Colourable,
  235.     Contemporary Mathematics, vol. 98, American Mathematical Society,
  236.     1989, pp.741.
  237.  
  238.     F. Bernhart, Math Reviews. 91m:05007, Dec. 1991. (Review of Appel
  239.     and Haken's book).
  240.  
  241.  
  242.  
  243.  
  244. 3Q:  What are the values of:
  245.  
  246. largest known Mersenne prime?
  247.  
  248. A:  It is 2^756839-1. It was discovered by a Cray-2 in England in 1992.
  249.     It has 227,832 digits.
  250.  
  251.  
  252. largest known prime?
  253.  
  254. A:  The largest known prime is the Mersenne prime described above.
  255.     The previous record holder, and the largest known non-Mersenne prime,
  256.     is 391581*2^216193-1. See Brown, Noll, Parady, Smith, Smith, and
  257.     Zarantonello, Letter to the editor, American Mathematical Monthly,
  258.     vol. 97, 1990, p. 214. Throughout history, the largest known prime
  259.     has almost always been a Mersenne prime; the period between Brown
  260.     et al's discovery in Aug 1989 and Slowinski & Gage's in March 1992
  261.     is one of the few exceptions.
  262.  
  263.  
  264. largest known twin primes?
  265.  
  266. A:  The largest known twin primes are 4650828 * 1001 * 10^3429  +/- 1.
  267.     They were found by H. Dubner
  268.  
  269.     For an article by the previous record holders see:
  270.  
  271.     B. K. Parady and J. F. Smith and S. E. Zarantonello,
  272.     Smith, Noll and Brown.
  273.     Largest known twin primes, Mathematics of Computation,
  274.     vol.55, 1990, pp. 381-382. 
  275.  
  276.  
  277. largest Fermat number with known factorization?
  278.  
  279. A:  F_11 = (2^(2^11)) + 1 which was  factored by Brent & Morain in
  280.     1988. F9 = (2^(2^9)) + 1 = 2^512 + 1 was factored by 
  281.     A.K. Lenstra, H.W. Lenstra Jr., M.S. Manasse & J.M. Pollard
  282.     in 1990. The factorization for F10 is NOT known.
  283.  
  284.  
  285. Are there good algorithms to factor a given integer?
  286.  
  287. A:  There are several that have subexponential estimated 
  288.     running time, to mention just a few:
  289.  
  290.         Continued fraction algorithm,
  291.         Class group method,
  292.         Quadratic sieve algorithm,
  293.         Elliptic curve algorithm,
  294.         Number field sieve,
  295.         Dixon's random squares algorithm,
  296.         Valle's two-thirds algorithm,
  297.         Seysen's class group algorithm,
  298.  
  299.     A.K. Lenstra, H.W. Lenstra Jr., "Algorithms in Number Theory",
  300.     in: J. van Leeuwen (ed.), Handbook of Theoretical Computer 
  301.     Science, Volume A: Algorithms and Complexity, Elsevier, pp. 
  302.     673-715, 1990.
  303.  
  304.  
  305. List of record numbers?
  306.  
  307. A:  Chris Caldwell maintains "THE LARGEST KNOWN PRIMES (ALL KNOWN
  308.     PRIMES WITH 2000 OR MORE DIGITS)"-list. Send him mail to  
  309.     bf04@UTMartn.bitnet (preferred) or kvax@utkvx.UTK.edu, on any new 
  310.     gigantic primes (greater than 10,000 digits), titanic primes
  311.     (greater than 1000 digits).
  312.  
  313.  
  314. What is the current status on Mersenne primes?
  315.  
  316. A:  Mersenne primes are primes of the form 2^p-1. For 2^p-1 to be prime 
  317.     we must have that p is prime. The following Mersenne primes are
  318.     known.
  319.  
  320.     nr            p                                 year  by
  321.     -----------------------------------------------------------------
  322.      1-5   2,3,5,7,13                    in or before the middle ages
  323.      6-7       17,19                     1588  Cataldi
  324.      8          31                       1750  Euler
  325.      9          61                       1883  Pervouchine
  326.     10          89                       1911  Powers
  327.     11          107                      1914  Powers
  328.     12          127                      1876  Lucas
  329.     13-14       521,607                  1952  Robinson
  330.     15-17       1279,2203,2281           1952  Lehmer
  331.     18          3217                     1957  Riesel
  332.     19-20       4253,4423                1961  Hurwitz & Selfridge
  333.     21-23       9689,9941,11213          1963  Gillies
  334.     24          19937                    1971  Tuckerman
  335.     25          21701                    1978  Noll & Nickel
  336.     26          23209                    1979  Noll
  337.     27          44497                    1979  Slowinski & Nelson
  338.     28          86243                    1982  Slowinski
  339.     29          110503                   1988  Colquitt & Welsh jr.
  340.     30          132049                   1983  Slowinski
  341.     31          216091                   1985  Slowinski
  342.     32?         756839                   1992  Slowinski & Gage
  343.  
  344.     The way to determine if 2^p-1 is prime is to use the Lucas-Lehmer 
  345.     test:
  346.       Lucas_Lehmer_Test(p):
  347.          u := 4
  348.          for i from 3 to p do
  349.             u := u^2-2 mod 2^p-1
  350.          od
  351.          if u == 0 then
  352.             2^p-1 is prime
  353.          else
  354.             2^p-1 is composite
  355.          fi
  356.  
  357.    The following ranges have been checked completely:
  358.     2 - 355K and  430K - 520K
  359.  
  360.    More on Mersenne primes and the Lucas-Lehmer test can be found in:
  361.       G.H. Hardy, E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers,
  362.       fifth edition, 1979, pp. 16, 223-225.
  363.  
  364.  
  365. (Please send updates to alopez-o@maytag.UWaterloo.ca)
  366.  
  367.  
  368.  
  369.  
  370. 4Q:  I think I proved <insert big conjecture>.    OR
  371.     I think I have a bright new idea.
  372.  
  373.     What should I do?
  374.  
  375. A:  Are you an expert in the area? If not, please ask first local
  376.     gurus for pointers to related work (the "distribution" field
  377.     may serve well for this purposes). If after reading them you still
  378.     think your *proof is correct*/*idea is new* then send it to the net.
  379.  
  380.  
  381. 5Q:  I have this complicated symbolic problem (most likely
  382.     a symbolic integral or a DE system) that I can't solve.
  383.     What should I do?
  384.  
  385. A:  Find a friend with access to a computer algebra system
  386.     like MAPLE, MACSYMA or MATHEMATICA and ask her/him to solve it.
  387.     If packages cannot solve it, then (and only then) ask the net. 
  388.  
  389.  
  390. 6Q:  Where can I get <Symbolic Computation Package>?
  391.     This is not a comprehensive list. There are other Computer Algebra
  392.     packages available that may better suit your needs. There is also
  393.     a FAQ list in the group sci.math.symbolic. It includes a much larger
  394.     list of vendors and developers. (The FAQ list can be obtained from
  395.     rtfm.mit.edu via anonymous ftp).
  396.  
  397. A: Maple 
  398.         Purpose: Symbolic and numeric computation, mathematical
  399.         programming, and mathematical visualization. 
  400.         Contact: Waterloo Maple Software,
  401.         160 Columbia Street West,
  402.         Waterloo, Ontario, Canada     N2L 3L3
  403.         Phone: (519) 747-2373 
  404.         wmsi@daisy.uwaterloo.ca wmsi@daisy.waterloo.edu
  405.  
  406. A: DOE-Macsyma  
  407.         Purpose: Symbolic and mathematical manipulations.
  408.         Contact: National Energy Software Center
  409.         Argonne National Laboratory 9700 South Cass Avenue
  410.         Argonne, Illinois 60439 
  411.         Phone: (708) 972-7250
  412.  
  413. A: Pari            
  414.  
  415.         Purpose: Number-theoretic computations and simple numerical
  416.         analysis.
  417.         Available for most 32-bit machines, including 386+387 and 486.
  418.         This is a copyrighted but free package, available by ftp from
  419.         math.ucla.edu (128.97.4.254) and ftp.inria.fr (128.93.1.26).
  420.         Contact: questions about pari can be sent to pari@ceremab.u-bordeaux.fr
  421.         and for the Macintosh versions to bernardi@mathp7.jussieu.fr
  422.  
  423.  
  424. A: Mathematica
  425.         Purpose: Mathematical computation and visualization,
  426.         symbolic programming. 
  427.         Contact: Wolfram Research, Inc. 
  428.         100 Trade Center Drive Champaign,
  429.         IL 61820-7237
  430.         Phone: 1-800-441-MATH
  431.  
  432. A: Macsyma
  433.         Purpose: Macsyma.
  434.  Contact: Macsyma Inc.
  435.         20 Academy Street
  436.         Arlington, MA 02174
  437.         tel: 617-646-4550
  438.         fax: 617-646-3161
  439.         email: info-macsyma@macsyma.com
  440.  
  441.  
  442. A: Matlab
  443.         Purpose: `matrix laboratory' for tasks involving 
  444.  matrices, graphics and general numerical computation.
  445.  Contact: The MathWorks, Inc.
  446.       21 Prime Park Way
  447.       Natick, MA 01760
  448.       508-653-1415
  449.       info@mathworks.com
  450.  
  451. A: Cayley
  452.         Purpose: Computation in algebraic and combinatorial structures
  453.         such as groups, rings, fields, modules and graphs.
  454.         Available for: SUN 3, SUN 4, IBM running AIX or VM, DEC VMS, others
  455.         Contact: Computational Algebra Group
  456.         University of Sydney
  457.         NSW 2006
  458.         Australia
  459.         Phone:  (61) (02) 692 3338
  460.         Fax: (61) (02) 692 4534
  461.         cayley@maths.su.oz.au
  462.  
  463.  
  464.  
  465. 7Q:  Let P be a property about the Fields Medal. Is P(x) true?
  466.  
  467. A:  There are a few gaps in the list. If you know any of the
  468.     missing information (or if you notice any mistakes), 
  469.     please send me e-mail.
  470.  
  471. Year Name               Birthplace              Age Institution
  472. ---- ----               ----------              --- -----------
  473. 1936 Ahlfors, Lars      Helsinki       Finland   29 Harvard U         USA
  474. 1936 Douglas, Jesse     New York NY    USA       39 MIT               USA
  475. 1950 Schwartz, Laurent  Paris          France    35 U of Nancy        France
  476. 1950 Selberg, Atle      Langesund      Norway    33 Adv.Std.Princeton USA 
  477. 1954 Kodaira, Kunihiko  Tokyo          Japan     39 Princeton U       USA
  478. 1954 Serre, Jean-Pierre Bages          France    27 College de France France
  479. 1958 Roth, Klaus        Breslau        Germany   32 U of London       UK
  480. 1958 Thom, Rene         Montbeliard    France    35 U of Strasbourg   France
  481. 1962 Hormander, Lars    Mjallby        Sweden    31 U of Stockholm    Sweden
  482. 1962 Milnor, John       Orange NJ      USA       31 Princeton U       USA
  483. 1966 Atiyah, Michael    London         UK        37 Oxford U          UK
  484. 1966 Cohen, Paul        Long Branch NJ USA       32 Stanford U        USA
  485. 1966 Grothendieck, Alexander Berlin    Germany   38 U of Paris        France
  486. 1966 Smale, Stephen     Flint MI       USA       36 UC Berkeley       USA
  487. 1970 Baker, Alan        London         UK        31 Cambridge U       UK
  488. 1970 Hironaka, Heisuke  Yamaguchi-ken  Japan     39 Harvard U         USA
  489. 1970 Novikov, Serge     Gorki          USSR      32 Moscow U          USSR
  490. 1970 Thompson, John     Ottawa KA      USA       37 U of Chicago      USA
  491. 1974 Bombieri, Enrico   Milan          Italy     33 U of Pisa         Italy
  492. 1974 Mumford, David     Worth, Sussex  UK        37 Harvard U         USA
  493. 1978 Deligne, Pierre    Brussels       Belgium   33 IHES              France
  494. 1978 Fefferman, Charles Washington DC  USA       29 Princeton U       USA
  495. 1978 Margulis, Gregori  Moscow         USSR      32 InstPrblmInfTrans USSR
  496. 1978 Quillen, Daniel    Orange NJ      USA       38 MIT               USA
  497. 1982 Connes, Alain      Draguignan     France    35 IHES              France
  498. 1982 Thurston, William  Washington DC  USA       35 Princeton U       USA
  499. 1982 Yau, Shing-Tung    Kwuntung       China     33 IAS               USA
  500. 1986 Donaldson, Simon   Cambridge      UK        27 Oxford U          UK
  501. 1986 Faltings, Gerd     1954           Germany   32 Princeton U       USA
  502. 1986 Freedman, Michael  Los Angeles CA USA       35 UC San Diego      USA
  503. 1990 Drinfeld, Vladimir Kharkov        USSR      36 Phys.Inst.Kharkov USSR
  504. 1990 Jones, Vaughan     Gisborne       N Zealand 38 UC Berkeley       USA
  505. 1990 Mori, Shigefumi    Nagoya         Japan     39 U of Kyoto?       Japan
  506. 1990 Witten, Edward     Baltimore      USA       38 Princeton U/IAS   USA
  507.  
  508. References :
  509.  
  510. International Mathematical Congresses, An Illustrated History 1893-1986,
  511. Revised Edition, Including 1986, by Donald J.Alberts, G. L. Alexanderson 
  512. and Constance Reid, Springer Verlag, 1987.
  513.  
  514. Tropp, Henry S., ``The origins and history of the Fields Medal,''
  515. Historia Mathematica, 3(1976), 167-181.  
  516.  
  517.  
  518. 8Q:  What is 0^0 ?
  519.  
  520. A:  According to some Calculus textbooks, 0^0 is an "indeterminate
  521.     form". When evaluating a limit of the form 0^0, then you need
  522.     to know that limits of that form are called "indeterminate forms",
  523.     and that you need to use a special technique such as L'Hopital's
  524.     rule to evaluate them. Otherwise, 0^0=1 seems to be the most
  525.     useful choice for 0^0. This convention allows us to extend 
  526.     definitions in different areas of mathematics that otherwise would
  527.     require treating 0 as a special case. Notice that 0^0 is a
  528.     discontinuity of the function x^y. 
  529.    
  530.     Rotando & Korn show that if f and g are real functions that vanish
  531.     at the origin and are _analytic_ at 0 (infinitely differentiable is
  532.     not sufficient), then f(x)^g(x) approaches 1 as x approaches 0 from
  533.     the right.
  534.  
  535.     From Concrete Mathematics p.162 (R. Graham, D. Knuth, O. Patashnik):
  536.  
  537.     "Some textbooks leave the quantity 0^0 undefined, because the
  538.     functions x^0 and 0^x have different limiting values when x 
  539.     decreases to 0. But this is a mistake. We must define
  540.  
  541.        x^0 = 1 for all x,
  542.  
  543.     if the binomial theorem is to be valid when x=0, y=0, and/or x=-y.
  544.     The theorem is too important to be arbitrarily restricted! By
  545.     contrast, the function 0^x is quite unimportant." 
  546.  
  547.     Published by Addison-Wesley, 2nd printing Dec, 1988.
  548.  
  549.     References:
  550.  
  551.     H. E. Vaughan, The expression '0^0', Mathematics Teacher 63 (1970),
  552.     pp.111-112.
  553.  
  554.     Louis M. Rotando & Henry Korn, "The Indeterminate Form 0^0",
  555.     Mathematics Magazine, Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42.
  556.  
  557.     L. J. Paige, A note on indeterminate forms, American Mathematical 
  558.     Monthly, 61 (1954), 189-190; reprinted in the Mathematical 
  559.     Association of America's 1969 volume, Selected Papers on Calculus,
  560.     pp. 210-211.
  561.  
  562.  
  563.  
  564. 9Q:  Why is 0.9999... = 1?
  565.  
  566. A:  In modern mathematics, the string of symbols "0.9999..." is
  567.     understood to be a shorthand for "the infinite sum  9/10 + 9/100
  568.     + 9/1000 + ...." This in turn is shorthand for "the limit of the
  569.     sequence of real numbers 9/10, 9/10 + 9/100, 9/10 + 9/100 + 9/1000,
  570.     ..."  Using the well-known epsilon-delta definition of limit, one
  571.     can easily show that this limit is 1.  The statement that 
  572.     0.9999...  = 1 is simply an abbreviation of this fact.
  573.  
  574.                     oo              m
  575.                    ---   9         ---   9
  576.         0.999... = >   ---- = lim  >   ----
  577.                    --- 10^n  m->oo --- 10^n
  578.                    n=1             n=1
  579.         Choose epsilon > 0. Suppose delta = 1/-log_10 epsilon, thus
  580.         epsilon = 10^(-1/delta). For every m>1/delta we have that
  581.  
  582.         |  m           |
  583.         | ---   9      |     1          1
  584.         | >   ---- - 1 | = ---- < ------------ = epsilon
  585.         | --- 10^n     |   10^m   10^(1/delta)
  586.         | n=1          |
  587.  
  588.         So by the (epsilon-delta) definition of the limit we have
  589.                m
  590.               ---   9
  591.          lim  >   ---- = 1
  592.         m->oo --- 10^n
  593.               n=1
  594.  
  595.  
  596.     An *informal* argument could be given by noticing that the following
  597.     sequence of "natural" operations has as a consequence 1 = 0.9999....
  598.     Therefore it's "natural" to assume 1 = 0.9999.....
  599.  
  600.              x = 0.99999....
  601.            10x = 9.99999....
  602.        10x - x = 9 
  603.             9x = 9                
  604.              x = 1
  605.     Thus
  606.              1 = 0.99999....
  607.  
  608.     References:
  609.  
  610.     E. Hewitt & K. Stromberg, Real and Abstract Analysis, 
  611.     Springer-Verlag, Berlin, 1965.
  612.  
  613.     W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.
  614.  
  615.  
  616.  
  617. 10Q:  Where I can get pi up to a few hundred thousand digits of pi? 
  618.     Does anyone have an algorithm to compute pi to those zillion 
  619.     decimal places?
  620.  
  621.  
  622. A:  MAPLE or MATHEMATICA can give you 10,000 digits of Pi in a blink,
  623.     and they can compute another 20,000-500,000 overnight (range depends
  624.     on hardware platform).
  625.  
  626.     It is possible to retrieve 1.25+ million digits of pi via anonymous
  627.     ftp from the site wuarchive.wustl.edu, in the files pi.doc.Z and
  628.     pi.dat.Z which reside in subdirectory doc/misc/pi.
  629.  
  630.     New York's Chudnovsky brothers have computed 2 billion digits of pi
  631.     on a homebrew computer.
  632.  
  633.     References :
  634.     (This is a short version for a more comprehensive list contact
  635.     Juhana Kouhia at jk87377@cc.tut.fi)
  636.  
  637.     J. M. Borwein, P. B. Borwein, and D. H. Bailey, "Ramanujan,
  638.     Modular Equations, and Approximations to Pi", American Mathematical
  639.     Monthly, vol. 96, no. 3 (March 1989), p. 201 - 220.
  640.  
  641.     P. Beckman
  642.     A history of pi
  643.     Golem Press, CO, 1971 (fourth edition 1977)
  644.  
  645.     J.M. Borwein and P.B. Borwein
  646.     The arithmetic-geometric mean and fast computation of elementary
  647.     functions
  648.     SIAM Review, Vol. 26, 1984, pp. 351-366
  649.  
  650.     J.M. Borwein and P.B. Borwein
  651.     More quadratically converging algorithms for pi
  652.     Mathematics of Computation, Vol. 46, 1986, pp. 247-253
  653.  
  654.     J.M. Borwein and P.B. Borwein
  655.     Pi and the AGM - a study in analytic number theory and
  656.     computational complexity
  657.     Wiley, New York, 1987
  658.  
  659.     Shlomo Breuer and Gideon Zwas
  660.     Mathematical-educational aspects of the computation of pi
  661.     Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., Vol. 15, No. 2, 1984,
  662.     pp. 231-244
  663.  
  664.     Y. Kanada and Y. Tamura
  665.     Calculation of pi to 10,013,395 decimal places based on the
  666.     Gauss-Legendre algorithm and Gauss arctangent relation
  667.     Computer Centre, University of Tokyo, 1983
  668.  
  669.     Morris Newman and Daniel Shanks
  670.     On a sequence arising in series for pi
  671.     Mathematics of computation, Vol. 42, No. 165, Jan 1984,
  672.     pp. 199-217
  673.  
  674.     E. Salamin
  675.     Computation of pi using arithmetic-geometric mean
  676.     Mathematics of Computation, Vol. 30, 1976, pp. 565-570
  677.  
  678.     D. Shanks and J.W. Wrench, Jr.
  679.     Calculation of pi to 100,000 decimals
  680.     Mathematics of Computation, Vol. 16, 1962, pp. 76-99
  681.  
  682.     Daniel Shanks
  683.     Dihedral quartic approximations and series for pi
  684.     J. Number Theory, Vol. 14, 1982, pp.397-423
  685.  
  686.     David Singmaster
  687.     The legal values of pi
  688.     The Mathematical Intelligencer, Vol. 7, No. 2, 1985
  689.  
  690.     Stan Wagon
  691.     Is pi normal?
  692.     The Mathematical Intelligencer, Vol. 7, No. 3, 1985
  693.  
  694.     J.W. Wrench, Jr.
  695.     The evolution of extended decimal approximations to pi
  696.     The Mathematics Teacher, Vol. 53, 1960, pp. 644-650
  697.  
  698.  
  699.  
  700.  
  701. 11Q:  There are three doors, and there is a car hidden behind one
  702.     of them, Master Mind and other games ..
  703.  
  704. A:  Read frequently asked questions from rec.puzzles, where the
  705.     problem is solved and carefully explained. (The Monty
  706.     Hall problem). MANY OTHER "MATHEMATICAL" GAMES ARE EXPLAINED
  707.     IN THE REC.PUZZLES FAQ. READ IT BEFORE ASKING IN SCI.MATH.
  708.  
  709.     Your chance of winning is 2/3 if you switch and 1/3 if you don't.
  710.     For a full explanation from the frequently asked questions list
  711.     for rec.puzzles, send to the address archive-request@questrel.com
  712.     an email message consisting of the text
  713.  
  714.                send switch
  715.  
  716.  
  717.     Also any other FAQ list can be obtained through anonymous ftp from
  718.     rtfm.mit.edu.
  719.  
  720.     References
  721.     
  722.     American Mathematical Monthly, January 1992.
  723.  
  724.  
  725.     For the game of Master Mind it has been proven that no more than
  726.     five moves are required in the worst case. For references look at
  727.  
  728.     One such algorithm was published in the Journal of Recreational
  729.     Mathematics; in '70 or '71 (I think), which always solved the
  730.     4 peg problem in 5 moves. Knuth later published an algorithm which
  731.     solves the problem in a shorter # of moves - on average - but can
  732.     take six guesses on certain combinations.
  733.  
  734.  
  735.  
  736.     Donald E. Knuth, The Computer as Master Mind, J. Recreational Mathematics
  737.     9 (1976-77), 1-6.
  738.  
  739.  
  740.  
  741. 12Q:  What is the formula for the "Surface Area" of a sphere in
  742.     Euclidean N-Space.  That is, of course, the volume of the N-1
  743.     solid which comprises the boundary of an N-Sphere.  
  744.  
  745. A:  The volume of a ball is the easiest formula to remember:  It's r^N
  746.     times pi^(N/2)/(N/2)!.  The only hard part is taking the factorial
  747.     of a half-integer.  The real definition is that x! = Gamma(x+1), but
  748.     if you want a formula, it's:
  749.  
  750.     (1/2+n)! = sqrt(pi)*(2n+2)!/(n+1)!/4^(n+1)
  751.  
  752.     To get the surface area, you just differentiate to get
  753.     N*pi^(N/2)/(N/2)!*r^(N-1).
  754.  
  755.     There is a clever way to obtain this formula using Gaussian
  756.     integrals. First, we note that the integral over the line of
  757.     e^(-x^2) is sqrt(pi).  Therefore the integral over N-space of
  758.     e^(-x_1^2-x_2^2-...-x_N^2) is sqrt(pi)^n.  Now we change to
  759.     spherical coordinates.  We get the integral from 0 to infinity 
  760.     of V*r^(N-1)*e^(-r^2), where V is the surface volume of a sphere.
  761.     Integrate by parts repeatedly to get the desired formula.
  762.  
  763. 13Q:  Does anyone know a name (or a closed form) for
  764.   
  765.       f(x)^f(x)=x
  766.  
  767.  
  768.     Solving for f one finds a "continued fraction"-like answer
  769.  
  770.  
  771.                f(x) = log x
  772.                       -----
  773.                       log (log x
  774.                           ------
  775.                               ...........
  776.  
  777. A:  This question has been repeated here from time to time over the 
  778.     years, and no one seems to have heard of any published work on it,
  779.     nor a published name for it (D. Merrit proposes "lx" due to its
  780.     (very) faint resemblance to log). It's not an analytic function.
  781.  
  782.     The "continued fraction" form for its numeric solution is highly 
  783.     unstable in the region of its minimum at 1/e (because the graph is
  784.     quite flat there yet logarithmic approximation oscillates wildly),
  785.     although it converges fairly quickly elsewhere. To compute its value
  786.     near 1/e, use the bisection method which gives good results. Bisection
  787.     in other regions converges much more slowly than the "logarithmic 
  788.     continued fraction" form, so a hybrid of the two seems suitable.
  789.     Note that it's dual valued for the reals (and many valued complex
  790.     for negative reals).
  791.  
  792.     A similar function is a "built-in" function in MAPLE called W(x).
  793.     MAPLE considers a solution in terms of W(x) as a closed form (like
  794.     the erf function). W is defined as W(x)*exp(W(x))=x.
  795.  
  796.     An extensive treatise on the known facts of Lambert's W function 
  797.     is available for anonymous ftp at daisy.uwaterloo.ca in the 
  798.     maple/5.2/doc/LambertW.ps.
  799.  
  800. 14Q:  The existence of a projective plane of order 10 has long been
  801.     an outstanding problem in discrete mathematics and finite geometry.
  802.  
  803. A:  More precisely, the question is: is it possible to define 111 sets
  804.     (lines) of 11 points each such that:
  805.     for any pair of points there is precisely one line containing them
  806.     both and for any pair of lines there is only one point common to
  807.     them both.
  808.     Analogous questions with n^2 + n + 1 and n + 1 instead of 111 and 11
  809.     have been positively answered only in case n is a prime power.
  810.     For n=6 it is not possible, more generally if n is congruent to 1
  811.     or 2 mod 4 and can not be written as a sum of two squares, then an
  812.     FPP of order n does not exist.  The n=10 case has been settled as
  813.     not possible either by Clement Lam. See Am. Math. Monthly,
  814.     recent issue. As the "proof" took several years of computer search
  815.     (the equivalent of 2000 hours on a Cray-1) it can be called the most
  816.     time-intensive computer assisted single proof.
  817.     The final steps were ready in January 1989.
  818.  
  819.     References
  820.  
  821.     R. H. Bruck and H. J. Ryser, "The nonexistence of certain finite
  822.     projective planes," Canadian Journal of Mathematics, vol. 1 (1949),
  823.     pp 88-93.
  824.  
  825.  
  826.  
  827. 15Q:  Is there a formula to determine the day of the week, given
  828.     the month, day and year? 
  829.  
  830. A:  Here is the standard method.
  831.  
  832.      A. Take the last two digits of the year.
  833.      B. Divide by 4, discarding any fraction.
  834.      C. Add the day of the month.
  835.      D. Add the month's key value: JFM AMJ JAS OND
  836.                                    144 025 036 146
  837.      E. Subtract 1 for January or February of a leap year.
  838.      F. For a Gregorian date, add 0 for 1900's, 6 for 2000's, 4 for 1700's, 2
  839.            for 1800's; for other years, add or subtract multiples of 400.
  840.      G. For a Julian date, add 1 for 1700's, and 1 for every additional
  841.       century you go back.
  842.      H. Add the last two digits of the year.
  843.  
  844.     Now take the remainder when you divide by 7; 1 is Sunday, the first day
  845.     of the week, 2 is Monday, and so on.
  846.  
  847.     Another formula is:
  848.  
  849.     W == k + [2.6m - 0.2] - 2C + Y + [Y/4] + [C/4]     mod 7
  850.        where [] denotes the integer floor function (round down),
  851.        k is day (1 to 31)
  852.        m is month (1 = March, ..., 10 = December, 11 = Jan, 12 = Feb)
  853.                      Treat Jan & Feb as months of the preceding year
  854.        C is century ( 1987 has C = 19)
  855.        Y is year    ( 1987 has Y = 87 except Y = 86 for jan & feb)
  856.        W is week day (0 = Sunday, ..., 6 = Saturday)
  857.  
  858.     This formula is good for the Gregorian calendar
  859.     (introduced 1582 in parts of Europe, adopted in 1752 in Great Britain
  860.     and its colonies, and on various dates in other countries).
  861.  
  862.     It handles century & 400 year corrections, but there is still a 
  863.     3 day / 10,000 year error which the Gregorian calendar does not take.
  864.     into account.  At some time such a correction will have to be 
  865.     done but your software will probably not last that long :-)   !
  866.  
  867.  
  868.     References:
  869.  
  870.     Winning Ways  by Conway, Guy, Berlekamp is supposed to have it.
  871.  
  872.     Martin Gardner in "Mathematical Carnival".
  873.  
  874.     Michael Keith and Tom Craver, "The Ultimate Perpetual Calendar?",
  875.     Journal of Recreational Mathematics, 22:4, pp. 280-282, 1990.
  876.  
  877.     K. Rosen, "Elementary Number Theory",  p. 156.
  878.  
  879.  
  880.  
  881. 16Q:  What is the Axiom of Choice?  Why is it important? Why some articles
  882.     say "such and such is provable, if you accept the axiom of choice."?
  883.     What are the arguments for and against the axiom of choice?  
  884.  
  885.  
  886. A:  There are several equivalent formulations:
  887.  
  888.     -The Cartesian product of nonempty sets is nonempty, even
  889.     if the product is of an infinite family of sets.
  890.  
  891.     -Given any set S of mutually disjoint nonempty sets, there is a set C
  892.     containing a single member from each element of S.  C can thus be
  893.     thought of as the result of "choosing" a representative from each
  894.     set in S. Hence the name. 
  895.  
  896.     >Why is it important? 
  897.  
  898.     All kinds of important theorems in analysis require it.  Tychonoff's
  899.     theorem and the Hahn-Banach theorem are examples. AC is equivalent
  900.     to the thesis that every set can be well-ordered.  Zermelo's first
  901.     proof of this in 1904 I believe was the first proof in which AC was
  902.     made explicit.  AC is especially handy for doing infinite cardinal
  903.     arithmetic, as without it the most you get is a *partial* ordering
  904.     on the cardinal numbers.  It also enables you to prove such 
  905.     interesting general facts as that n^2 = n for all infinite cardinal 
  906.     numbers.
  907.  
  908.     > What are the arguments for and against the axiom of choice?
  909.  
  910.     The axiom of choice is independent of the other axioms of set theory
  911.     and can be assumed or not as one chooses.
  912.  
  913.     (For) All ordinary mathematics uses it.
  914.  
  915.     There are a number of arguments for AC, ranging from a priori to 
  916.     pragmatic.  The pragmatic argument (Zermelo's original approach) is
  917.     that it allows you to do a lot of interesting mathematics.  The more
  918.     conceptual argument derives from the "iterative" conception of set
  919.     according to which sets are "built up" in layers, each layer consisting
  920.     of all possible sets that can be constructed out of elements in the
  921.     previous layers.  (The building up is of course metaphorical, and is
  922.     suggested only by the idea of sets in some sense consisting of their 
  923.     members; you can't have a set of things without the things it's a set
  924.     of).  If then we consider the first layer containing a given set S of
  925.     pairwise disjoint nonempty sets, the argument runs, all the elements 
  926.     of all the sets in S must exist at previous levels "below" the level
  927.     of S.  But then since each new level contains *all* the sets that can
  928.     be formed from stuff in previous levels, it must be that at least by
  929.     S's level all possible choice sets have already been *formed*. This
  930.     is more in the spirit of Zermelo's later views (c. 1930). 
  931.  
  932.     (Against) It has some supposedly counterintuitive consequences,
  933.     such as the Banach-Tarski paradox. (See next question)
  934.  
  935.     Arguments against AC typically target its nonconstructive character:
  936.     it is a cheat because it conjures up a set without providing any
  937.     sort of *procedure* for its construction--note that no *method* is
  938.     assumed for picking out the members of a choice set.  It is thus the
  939.     platonic axiom par excellence, boldly asserting that a given set
  940.     will always exist under certain circumstances in utter disregard of
  941.     our ability to conceive or construct it.  The axiom thus can be seen
  942.     as marking a divide between two opposing camps in the philosophy of
  943.     mathematics:  those for whom mathematics is essentially tied to our
  944.     conceptual capacities, and hence is something we in some sense
  945.     *create*, and those for whom mathematics is independent of any such
  946.     capacities and hence is something we *discover*.  AC is thus of 
  947.     philosophical as well as mathematical significance.
  948.  
  949.  
  950.     It should be noted that some interesting mathematics has come out of an
  951.     incompatible axiom, the Axiom of Determinacy (AD).  AD asserts that
  952.     any two-person game without ties has a winning strategy for the first or
  953.     second player.  For finite games, this is an easy theorem; for infinite
  954.     games with duration less than \omega and move chosen from a countable set,
  955.     you can prove the existence of a counter-example using AC.  Jech's book
  956.     "The Axiom of Choice" has a discussion.  
  957.  
  958.     An example of such a game goes as follows.  
  959.  
  960.        Choose in advance a set of infinite sequences of integers; call it A.
  961.        Then I pick an integer, then you do, then I do, and so on forever 
  962.        (i.e. length \omega).  When we're done, if the sequence of integers
  963.        we've chosen is in A, I win; otherwise you win.  AD says that one of
  964.        us must have a winning strategy.  Of course the strategy, and which
  965.        of us has it, will depend upon A.
  966.  
  967.  
  968.     From a philosophical/intuitive/pedagogical standpoint, I think Bertrand
  969.     Russell's shoe/sock analogy has a lot to recommend it.  Suppose you have an
  970.     infinite collection of pairs of shoes.  You want to form a set with one
  971.     shoe from each pair.  AC is not necessary, since you can define the set as
  972.     "the set of all left shoes". (Technically, we're using the axiom of
  973.     replacement, one of the basic axioms of Zermelo-Fraenkel (ZF) set theory.)
  974.     If instead you want to form a set containing one sock from each pair of an
  975.     infinite collection of pairs of socks, you now need AC.
  976.  
  977.  
  978.     References:
  979.  
  980.     Maddy, "Believing the Axioms, I", J. Symb. Logic, v. 53, no. 2, June 1988,
  981.     pp. 490-500, and "Believing the Axioms II" in v.53, no. 3.  
  982.  
  983.     Gregory H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice, New York, Springer-Verlag,
  984.     1982.
  985.  
  986.     H. Rubin and J. E. Rubin, Equivalents of the Axiom of Choice, Amsterdam,
  987.      North-Holland, 1963.
  988.  
  989.     A. Fraenkel, Y.  Bar-Hillel, and A. Levy, Foundations of Set Theory, 
  990.     Amsterdam, North-Holland, 1984 (2nd edition, 2nd printing), pp. 53-86.
  991.  
  992.  
  993.  
  994. 17Q:  Cutting a sphere into pieces of larger volume. Is it possible
  995.     to cut a sphere into a finite number of pieces and reassemble 
  996.     into a solid of twice the volume?
  997.  
  998. A:  This question has many variants and it is best answered explicitly.
  999.     Given two polygons of the same area, is it always possible to
  1000.     dissect one into a finite number of pieces which can be reassembled
  1001.     into a replica of the other?
  1002.  
  1003.     Dissection theory is extensive.  In such questions one needs to
  1004.     specify
  1005.  
  1006.      (A) what a "piece" is,  (polygon?  Topological disk?  Borel-set? 
  1007.          Lebesgue-measurable set?  Arbitrary?)
  1008.  
  1009.      (B) how many pieces are permitted (finitely many? countably? uncountably?)
  1010.  
  1011.      (C) what motions are allowed in "reassembling" (translations?
  1012.          rotations?  orientation-reversing maps?  isometries?  
  1013.          affine maps?  homotheties?  arbitrary continuous images?  etc.)
  1014.  
  1015.      (D) how the pieces are permitted to be glued together.  The
  1016.          simplest notion is that they must be disjoint.  If the pieces
  1017.          are polygons [or any piece with a nice boundary] you can permit
  1018.          them to be glued along their boundaries, ie the interiors of the
  1019.          pieces disjoint, and their union is the desired figure.
  1020.  
  1021.  
  1022.     Some dissection results
  1023.  
  1024.      1) We are permitted to cut into FINITELY MANY polygons, to TRANSLATE
  1025.         and ROTATE the pieces, and to glue ALONG BOUNDARIES;
  1026.         then Yes, any two equal-area polygons are equi-decomposable.
  1027.  
  1028.         This theorem was proven by Bolyai and Gerwien independently, and has
  1029.         undoubtedly been independently rediscovered many times.  I would not
  1030.         be surprised if the Greeks knew this.
  1031.  
  1032.         The Hadwiger-Glur theorem implies that any two equal-area polygons are
  1033.         equi-decomposable using only TRANSLATIONS and ROTATIONS BY 180
  1034.         DEGREES. 
  1035.  
  1036.      2) THM (Hadwiger-Glur, 1951) Two equal-area polygons P,Q are
  1037.         equi-decomposable by TRANSLATIONS only, iff we have equality of these
  1038.         two functions:     PHI_P() = PHI_Q()
  1039.         Here, for each direction v (ie, each vector on the unit circle in the
  1040.         plane), let PHI_P(v) be the sum of the lengths of the edges of P which
  1041.         are perpendicular to v, where for such an edge, its length is positive
  1042.         if v is an outward normal to the edge and is negative if v is an 
  1043.         inward normal to the edge.
  1044.  
  1045.  
  1046.      3) In dimension 3, the famous "Hilbert's third problem" is:
  1047.      
  1048.        "If P and Q are two polyhedra of equal volume, are they
  1049.         equi-decomposable by means of translations and rotations, by
  1050.         cutting into finitely many sub-polyhedra, and gluing along
  1051.         boundaries?" 
  1052.  
  1053.         The answer is "NO" and was proven by Dehn in 1900, just a few months
  1054.         after the problem was posed. (Ueber raumgleiche polyeder, Goettinger 
  1055.         Nachrichten 1900, 345-354). It was the first of Hilbert's problems
  1056.         to be solved. The proof is nontrivial but does *not* use the axiom 
  1057.         of choice.
  1058.  
  1059.         "Hilbert's Third Problem", by V.G.Boltianskii, Wiley 1978.
  1060.  
  1061.  
  1062.      4) Using the axiom of choice on non-countable sets, you can prove
  1063.         that a solid sphere can be dissected into a finite number of
  1064.         pieces that can be reassembled to two solid spheres, each of
  1065.         same volume of the original. No more than nine pieces are needed.
  1066.  
  1067.         This construction is known as the "Banach-Tarski" paradox or the 
  1068.         "Banach-Tarski-Hausdorff" paradox (Hausdorff did an early version of
  1069.         it).  The "pieces" here are non-measurable sets, and they are
  1070.         assembled *disjointly* (they are not glued together along a boundary,
  1071.         unlike the situation in Bolyai's thm.)
  1072.          An excellent book on Banach-Tarski is:
  1073.  
  1074.         "The Banach-Tarski Paradox", by Stan Wagon, 1985, Cambridge
  1075.         University Press.
  1076.  
  1077.          Also read in the Mathematical Intelligencer an article on
  1078.         the Banach-Tarski Paradox.
  1079.  
  1080.         The pieces are not (Lebesgue) measurable, since measure is preserved
  1081.         by rigid motion. Since the pieces are non-measurable, they do not
  1082.         have reasonable boundaries. For example, it is likely that each piece's
  1083.         topological-boundary is the entire ball.
  1084.  
  1085.         The full Banach-Tarski paradox is stronger than just doubling the
  1086.         ball.  It states:
  1087.  
  1088.      5) Any two bounded subsets (of 3-space) with non-empty interior, are
  1089.         equi-decomposable by translations and rotations.
  1090.  
  1091.         This is usually illustrated by observing that a pea can be cut up
  1092.         into finitely pieces and reassembled into the Earth.
  1093.  
  1094.         The easiest decomposition "paradox" was observed first by Hausdorff:
  1095.  
  1096.      6) The unit interval can be cut up into COUNTABLY many pieces which,
  1097.         by *translation* only, can be reassembled into the interval of
  1098.         length 2.
  1099.  
  1100.         This result is, nowadays, trivial, and is the standard example of a
  1101.         non-measurable set, taught in a beginning graduate class on measure
  1102.         theory.
  1103.  
  1104.  
  1105.         References:
  1106.  
  1107.         In addition to Wagon's book above, Boltyanskii has written at least
  1108.         two works on this subject.  An elementary one is:
  1109.  
  1110.           "Equivalent and equidecomposable figures"
  1111.  
  1112.         in Topics in Mathematics published by D.C. HEATH AND CO., Boston.  It
  1113.         is a translation from the 1956 work in Russian.   
  1114.  
  1115.           Also, the article "Scissor Congruence" by Dubins, Hirsch and ?,
  1116.         which appeared about 20 years ago in the Math Monthly, has a pretty
  1117.         theorem on decomposition by Jordan arcs.
  1118.  
  1119.  
  1120.         ``Banach and Tarski had hoped that the physical absurdity of this
  1121.         theorem would encourage mathematicians to discard AC. They were 
  1122.         dismayed when the response of the math community was `Isn't AC great?
  1123.         How else could we get such counterintuitive results?' ''
  1124.  
  1125.  
  1126. 18Q:   Is there a theory of quaternionic analytic functions, that is, a four-
  1127.      dimensional analog to the theory of complex analytic functions?
  1128.     
  1129. A.   Yes.   This was developed in the 1930s by the mathematician
  1130.      Fueter.   It is based on a generalization of the Cauchy-Riemann
  1131.      equations, since the possible alternatives of power series expansions
  1132.      or quaternion differentiability do not produce useful theories.
  1133.      A number of useful integral theorems follow from the theory.
  1134.      Sudbery provides an excellent review.  Deavours covers some of the same
  1135.      material less thoroughly.   Brackx discusses a further generalization
  1136.      to arbitrary Clifford algebras.
  1137.  
  1138.  
  1139.       Anthony Sudbery, Quaternionic Analysis, Proc. Camb. Phil. Soc.,
  1140.       vol. 85, pp 199-225, 1979.
  1141.  
  1142.       Cipher A. Deavours, The Quaternion Calculus, Am. Math. Monthly,
  1143.       vol. 80, pp 995-1008, 1973.
  1144.  
  1145.       F. Brackx and R. Delanghe and F. Sommen, Clifford analysis,
  1146.       Pitman, 1983.
  1147.  
  1148.  
  1149. 19Q:  What is the Erdos Number?
  1150.  
  1151.      Form an undirected graph where the vertices are academics, and an
  1152.      edge connects academic X to academic Y if X has written a paper
  1153.      with Y.  The Erdos number of X is the length of the shortest path
  1154.      in this graph connecting X with Erdos.
  1155.  
  1156.      What is the Erdos Number of X ? for a few selected X in {Math,physics}
  1157.  
  1158.      Erdos has Erdos number 0.  Co-authors of Erdos have Erdos number 1.
  1159.      Einstein has Erdos number 2, since he wrote a paper with Ernst Straus,
  1160.      and Straus wrote many papers with Erdos.
  1161.  
  1162.      Why people care about it?
  1163.  
  1164.      Nobody seems to have a reasonable answer...
  1165.  
  1166.      Who is Paul Erdos? 
  1167.  
  1168.      Paul Erdos is an Hungarian mathematician, he obtained his PhD
  1169.      from the University of Manchester and has spent most of his 
  1170.      efforts tackling "small" problems and conjectures related to
  1171.      graph theory, combinatorics, geometry and number theory.
  1172.  
  1173.      He is one of the most prolific publishers of papers; and is
  1174.      also and indefatigable traveller.
  1175.  
  1176.  
  1177.      References:
  1178.  
  1179.       Caspar Goffman, And what is your Erdos number?, American Mathematical
  1180.       Monthly v. 76 (1969), p. 791.
  1181.  
  1182.  
  1183. 20Q:  Does there exist a number that is perfect and odd?
  1184.  
  1185.      A given number is perfect if it is equal to the sum of all its proper 
  1186.      divisors. This question was first posed by Euclid in ancient Greece.
  1187.      This question is still open.  Euler proved that if  N  is an odd
  1188.      perfect number, then in the prime power decomposition of N, exactly 
  1189.      one exponent is congruent to 1 mod 4 and all the other exponents are
  1190.      even. Furthermore, the prime occurring to an odd power must itself be
  1191.      congruent to 1 mod 4.  A sketch of the proof appears in Exercise 87,
  1192.      page 203 of Underwood Dudley's Elementary Number Theory, 2nd ed.  
  1193.      It has been shown that there are no odd perfect numbers < 10^300.
  1194.  
  1195.  
  1196.  
  1197. 21Q.- Why is there no Nobel in mathematics? #
  1198.  
  1199.      Nobel prizes were created by the will of Alfred Nobel, a notable
  1200.      swedish chemist.
  1201.  
  1202.      One of the most common --and unfounded-- reasons as to why Nobel
  1203.      decided against a Nobel prize in math is that [a woman he proposed
  1204.      to/his wife/his mistress] [rejected him beacuse of/cheated him
  1205.      with] a famous mathematician. Gosta Mittag-Leffler is often claimed
  1206.      to be the guilty party.
  1207.      
  1208.      There is no historical evidence to support the story.
  1209.  
  1210.      For one, Mr. Nobel was never married.
  1211.  
  1212.      There are more credible reasons as to why there is no Nobel prize
  1213.      in math. Chiefly among them is simply the fact he didn't care much
  1214.      for mathematics, and that it was not considered a practical 
  1215.      science from which humanity could benefit (a chief purpose
  1216.      for creating the Nobel Foundation).
  1217.  
  1218.  
  1219.      Here are some relevant facts:
  1220.  
  1221.      1. Nobel never married, hence no ``wife". (He did have a mistress,
  1222.      a Viennese woman named Sophie Hess.)
  1223.  
  1224.      2. Gosta Mittag-Leffler was an important mathematician in Sweden
  1225.      in the late 19th-early 20th century.  He was the founder of the
  1226.      journal Acta Mathematica, played an important role in helping the
  1227.      career of Sonya Kovalevskaya, and was eventually head of the
  1228.      Stockholm Hogskola, a technical institute. However, it seems
  1229.      highly unlikely that he would have been a leading candidate for
  1230.      an early Nobel Prize in mathematics, had there been one -- there
  1231.      were guys like Poincare and Hilbert around, after all.
  1232.  
  1233.      3.  There is no evidence that Mittag-Leffler
  1234.      had much contact with Alfred Nobel (who resided in Paris
  1235.      during the latter part of his life), still less that there was
  1236.      animosity between them for whatever reason.  To the contrary,
  1237.      towards the end of Nobel's life Mittag-Leffler was engaged in
  1238.      ``diplomatic" negotiations to try to persuade Nobel to designate
  1239.      a substantial part of his fortune to the Hogskola. It seems hardly
  1240.      likely that he would have undertaken this if there was prior
  1241.      bad blood between them.  Although initially Nobel seems to have
  1242.      intended to do this, eventually he came up with the Nobel Prize
  1243.      idea -- much to the disappointment of the Hogskola, not to mention
  1244.      Nobel's relatives and Fraulein Hess.
  1245.  
  1246.      According to the very interesting study by Elisabeth Crawford,
  1247.      ``The Beginnings of the Nobel Institution", Cambridge Univ. Press,
  1248.      1984, pages 52-53:
  1249.  
  1250.      ``Although it is not known how those in responsible positions
  1251.      at the Hogskola came to believe that a *large* bequest was
  1252.      forthcoming, this indeed was the expectation, and the
  1253.      disappointment was keen when it was announced early in 1897 that
  1254.      the Hogskola had been left out of Nobel's final will in 1895.
  1255.      Recriminations followed, with both Pettersson and Arrhenius 
  1256.      [academic rivals of Mittag-Leffler in the administration of the
  1257.      Hogskola] letting it be known that Nobel's dislike for 
  1258.      Mittag-Leffler had brought about what Pettersson termed the
  1259.      `Nobel Flop'.  This is only of interest because it may have
  1260.      contributed to the myth that Nobel had planned to institute a prize
  1261.      in mathematics but had refrained because of his antipathy to
  1262.      Mittag-Leffler or --in another version of the same story-- because
  1263.      of their rivalry for the affections of a woman...."
  1264.  
  1265.      4.  A final speculation concerning the psychological element.
  1266.      Would Nobel, sitting down to draw up his testament, presumably
  1267.      in a mood of great benevolence to mankind, have allowed a mere
  1268.      personal grudge to distort his idealistic plans for the monument
  1269.      he would leave behind?
  1270.      Nobel, an inventor and industrialist, did not create a prize in
  1271.      mathematics simply because he was not particularly interested
  1272.      in mathematics or theoretical science.  His will speaks of
  1273.      prizes for those ``inventions or discoveries" of greatest
  1274.      practical benefit to mankind.  (Probably as a result of this 
  1275.      language, the physics prize has been awarded for experimental work
  1276.      much more often than for advances in theory.)
  1277.  
  1278.      However, the story of some rivalry over a woman is obviously
  1279.      much more amusing, and that's why it will probably continue to
  1280.      be repeated.
  1281.  
  1282.    
  1283.      References:
  1284.  
  1285.      Mathematical Intelligencer, vol. 7 (3), 1985, p. 74.
  1286.  
  1287.      Elisabeth Crawford, ``The Beginnings of the Nobel Institution", 
  1288.      Cambridge Univ. Press, 1984.
  1289.  
  1290.  
  1291. 22Q.- General References and textbooks... #
  1292.  
  1293.      [a list of general references and most commonly used textbooks]
  1294.      [                                                             ]
  1295.       
  1296.  
  1297.  
  1298.  
  1299. --------------------------------------------------------------------------
  1300. Questions and Answers _Compiled_ by:
  1301.  
  1302. Alex Lopez-Ortiz                              alopez-o@maytag.UWaterloo.ca
  1303. Department of Computer Science                      University of Waterloo
  1304. Waterloo, Ontario                                                   Canada
  1305. -- 
  1306. Alex Lopez-Ortiz                              alopez-o@maytag.UWaterloo.ca
  1307. Department of Computer Science                      University of Waterloo
  1308. Waterloo, Ontario                                                   Canada
  1309.